HAY MÁS DE UNA GEOMETRÍA

La Geometría es la rama más antigua de la Matemática, trata de las propiedades de entes como puntos, rectas, curvas, superficies, en el plano o en el espacio, así como de las relaciones entre los mismos. La palabra Geometría etimológicamente procede de los términos griegos geo que significa tierra y metro medida, ya que según los historiadores su nacimiento se produce en el antiguo Egipto para reconstruir los límites de las parcelas de terreno borrados por los desbordamientos periódicos del río Nilo. El estudio de la Geometría como es lógico sigue el método de razonamiento matemático a base de entes abstractos o sea ideales de los cuales los entes reales que dibujamos como puntos, líneas, superficies, etc., son representaciones aproximadas pero nunca exactas de los correspondientes entes abstractos o ideales.

Estos conceptos para nada son manejados por el público no especializado, pero son asimilables fácilmente. Según la Geometría un punto es una «figura» que no tiene dimensiones, esto es, carece de largo, ancho y espesor. De modo que cuando en un papel aún con el lápiz mas afilado decimos trazar un punto, lo que logramos es sólo una copia aproximada del punto abstracto  geométrico. La recta geométrica sólo tiene longitud, no posee ni ancho ni grosor. El plano sólo largo y ancho pero no espesor, y así ese es el método geométrico, pero sólo de esa manera se ha podido construir esta vertiente del conocimiento que ha permitido el desarrollo de la ciencia y la técnica de la física, la ingeniería, la arquitectura, la topografía o agrimensura y tantas y tantas manifestaciones del saber humano.

La Geometría como la Matemática en general, realiza principalmente sus razonamientos  mediante Axiomas y Teoremas. Un Axioma o Postulado es una proposición que se toma como verdad que no necesita demostración. En un Teorema por deducción lógica se demuestra una proposición expuesta en un Enunciado, partiendo de Hipótesis aceptadas. Las ciencias exactas o físico-matemáticas, se basan en unos pocos postulados y a partir de éstos por deducción se desarrolla lo fundamental de cada una de las disciplinas. Ya adelantamos en el título, que hay más de una geometría igualmente lógicas y que describen equivalentemente lo que llamamos realidad, como iremos aclarando en lo que sigue. Desde que comienza la educación escolar y hasta que se terminan la mayor parte de las carreras universitarias, se estudia una sola geometría que a su vez, es la que se maneja inadvertidamente en las actividades cotidianas. Esa Geometría se denomina Euclidiana por basarse en los Postulados establecidos por el matemático griego Euclides. El quinto postulado de Euclides expresa algo que nos resulta evidente y cuyo enunciado dice  (con otras palabras) lo siguiente:«Por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse a la misma una sola paralela». Pero es el caso, que negando de dos maneras diferentes el quinto postulado de Euclides, pueden desarrollarse completamente dos geometrías más, tan lógicas e igualmente aplicables a las ciencias como la Euclidiana.

Las dos Geometrías No-Euclidianas toman el nombre de sus autores, la de Lobachevsky y la de Riemann. La de Lobachevsky niega el quinto postulado de Euclides, expresando que por un punto exterior a una «recta» se pueden trazar mas de una paralela. He entrecomillado «recta» porque en la Geometría de Lobachevsky, la recta es una rama de la curva hipérbola, por lo cual a esta Geometría se le llama Hiperbólica. Es por eso que por un punto exterior  a esa «recta» pueden trazarse mas de una rama de hipérbola que jamás la corten, comportándose pues como «paralelas».

Riemann para negar el Postulado de Euclides, define como rectas los meridianos de una esfera (o de un elipsoide)  lo cual le permite postular, que por un punto exterior a una «recta» no se puede trazar ninguna paralela, lo cual es evidente pues se cortarían todas en los polos. A la Geometría de Riemann se le llama Elíptica.

En la figura que mostramos damos una idea de las características de las tres geometrías.

Según una vertiente de la corriente filosófica del positivismo, la denominada Convencionalismo propugnada por Henri Poincaré, las teorías calificadas como científicas, no son unas más verídicas que otras sino, unas mas convenientes que otras, las cuales  se adoptan por convención. Así siguiendo a Poincaré se ha escogido  como Geometría más conveniente a la Euclidiana. Es una elección evidentemente aceptable pues espontáneamente la comprendemos y con facilidad la manejamos. Además una serie de factores como la representación con dibujos es muy sencilla y por el contrario sería muy engorroso el tratamiento gráfico y teórico de las otras dos geometrías.  En ciencias que aplican la Geometría como la física, la recta euclidiana está presente en infinidad de conceptos, movimiento rectilíneo, caída libre de los cuerpos, marcha de la luz y otros tantos ejemplos. Sin embargo en Teoría de la Relatividad, la Geometría de Riemann desempeña un rol fundamental que en el presente trabajo no se va a tratar.

Creemos que con lo expuesto en este artículo, se ha logrado un acercamiento didáctico a ese atractivo entorno de las Geometrías.

Fuente: http://www.la2revelacion.com/?p=3032